前沿拓展：

gamma函數(shù)

如圖所示：

今天，我們來聊一聊數(shù)學中伽瑪函數(shù)的發(fā)現(xiàn)史，也體驗一番歐拉那精妙絕倫的數(shù)學技巧。

我們假設一下，如果你是18世紀的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學家，那么面對這兩個定積分，你會怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個反常積分，也有好幾個辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級數(shù)，這兩個積分的難度可是要比巴塞爾級數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負責任地說，這時候你沒有任何辦法去解決這兩個積分，因為在1743年，連大數(shù)學歐拉都拿這兩個積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學中有它，光學中有它，流體力學也有這兩個積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認，如果有人找到一種辦法，使得這兩個積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對分析學來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計算這兩個積分的關鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學過，可是我們所學的只對正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認識到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進展。

到了1729年，他又寫信請教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關系密切，這事當然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實數(shù)表達式——即伽瑪函數(shù)，此時的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時候虛數(shù)還沒有被數(shù)學界承認，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時候的伽瑪函數(shù)只在實數(shù)定義域上被承認。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實部與實部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個反常積分的影子，沒錯，歐拉只需做一個變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。。　撬€沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當作了一個媒介，參與各種運算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會相當困難。

虛數(shù)就是這么一個精靈，推導很多數(shù)學公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權保護功能沒申請下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對讀者朋友們造成了閱讀影響，請及時反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

拓展知識：

前沿拓展：

gamma函數(shù)

如圖所示：

今天，我們來聊一聊數(shù)學中伽瑪函數(shù)的發(fā)現(xiàn)史，也體驗一番歐拉那精妙絕倫的數(shù)學技巧。

我們假設一下，如果你是18世紀的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學家，那么面對這兩個定積分，你會怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個反常積分，也有好幾個辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級數(shù)，這兩個積分的難度可是要比巴塞爾級數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負責任地說，這時候你沒有任何辦法去解決這兩個積分，因為在1743年，連大數(shù)學歐拉都拿這兩個積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學中有它，光學中有它，流體力學也有這兩個積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認，如果有人找到一種辦法，使得這兩個積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對分析學來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計算這兩個積分的關鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學過，可是我們所學的只對正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認識到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進展。

到了1729年，他又寫信請教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關系密切，這事當然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實數(shù)表達式——即伽瑪函數(shù)，此時的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時候虛數(shù)還沒有被數(shù)學界承認，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時候的伽瑪函數(shù)只在實數(shù)定義域上被承認。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實部與實部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個反常積分的影子，沒錯，歐拉只需做一個變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才！??！——但是他還沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當作了一個媒介，參與各種運算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會相當困難。

虛數(shù)就是這么一個精靈，推導很多數(shù)學公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權保護功能沒申請下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對讀者朋友們造成了閱讀影響，請及時反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

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如圖所示：

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我們假設一下，如果你是18世紀的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學家，那么面對這兩個定積分，你會怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個反常積分，也有好幾個辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級數(shù)，這兩個積分的難度可是要比巴塞爾級數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負責任地說，這時候你沒有任何辦法去解決這兩個積分，因為在1743年，連大數(shù)學歐拉都拿這兩個積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學中有它，光學中有它，流體力學也有這兩個積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認，如果有人找到一種辦法，使得這兩個積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對分析學來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計算這兩個積分的關鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學過，可是我們所學的只對正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認識到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進展。

到了1729年，他又寫信請教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關系密切，這事當然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實數(shù)表達式——即伽瑪函數(shù)，此時的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時候虛數(shù)還沒有被數(shù)學界承認，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時候的伽瑪函數(shù)只在實數(shù)定義域上被承認。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實部與實部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個反常積分的影子，沒錯，歐拉只需做一個變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。?！——但是他還沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當作了一個媒介，參與各種運算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會相當困難。

虛數(shù)就是這么一個精靈，推導很多數(shù)學公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權保護功能沒申請下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對讀者朋友們造成了閱讀影響，請及時反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

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歐拉-菲涅爾積分

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我有信心負責任地說，這時候你沒有任何辦法去解決這兩個積分，因為在1743年，連大數(shù)學歐拉都拿這兩個積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學中有它，光學中有它，流體力學也有這兩個積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認，如果有人找到一種辦法，使得這兩個積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對分析學來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計算這兩個積分的關鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學過，可是我們所學的只對正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認識到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進展。

到了1729年，他又寫信請教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關系密切，這事當然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實數(shù)表達式——即伽瑪函數(shù)，此時的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

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伽瑪函數(shù)

要知道，這時候虛數(shù)還沒有被數(shù)學界承認，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時候的伽瑪函數(shù)只在實數(shù)定義域上被承認。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實部與實部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個反常積分的影子，沒錯，歐拉只需做一個變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。?！——但是他還沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當作了一個媒介，參與各種運算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會相當困難。

虛數(shù)就是這么一個精靈，推導很多數(shù)學公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權保護功能沒申請下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對讀者朋友們造成了閱讀影響，請及時反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

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